2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

1. 设集合，U为整数集，（    ）

A.  B.

C  D.

2. 若复数，则（    ）

A. -1 B. 0          · C. 1 D. 2

3. 执行下面的程序框遇，输出的（    ）

A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

4. 向量，且，则（    ）

A  B.  C.  D.

5. 已知正项等比数列中，为前n项和，，则（    ）

A. 7 B. 9 C. 15 D. 30

6. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（    ）

A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1

7. “”是“”的（    ）

A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件

C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

8. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务选择种数为（    ）

A. 120 B. 60 C. 40 D. 30

10. 已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 己知椭圆，两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 若为偶函数，则________．

14. 设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为____________．

15. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．

16. 在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________．

三、解答题

17. 已知数列中，，设为前n项和，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18. 在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．

（1）求证：；

（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．

19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．

（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；

（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.3  18.4  20.1  20.4  21.5  23.2  24.6  24.8  25.0  25.4

26.1  26.3  26.4  26.5  26.8  27.0  27.4  27.5  27.6  28.3

实验组：5.4   6.6   6.8    6.9  7.8   8.2   9.4  10.0  10.4  11.2

14.4  17.3  19.2  20.2  23.6  23.8  24.5  25.1  25.2  26.0

（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：

（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．

参考数据：

20. 已知直线与抛物线交于两点，且．

（1）求；

（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值．

21. 已知

（1）若，讨论的单调性；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

四、选做题

22. 已知，直线（t为参数），为倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，．

（1）求的值；

（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．

23. 已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．